男子轻生担心儿子无人照顾将其杀害，是否犯罪

福建男子轻生担心儿子无人照顾将其杀害，被认定患精神分裂症。

福建省龙岩市，一男子因生活压力大、妻子离家出走等原因产生自杀的想法，又担心其死后儿子无人照顾，遂决定先杀儿子后自杀。2019年11月5日，男子因琐事被母亲责骂后，将自己和儿子反锁在房间内，要求母亲限时买酒给其喝，见其母亲未能买来酒，就用水果刀割了儿子脖子两刀，见其哭喊挣扎，又用水果刀割了他脖子两刀。民警到达案发现场后，男子与民警对抗过程中将一民警捅伤。后男子在民警劝说下递出儿子时，儿子已死亡。

检察院认定其患有精神分裂症，评定为限定刑事责任能力人。

男子的行为是否涉嫌违法犯罪？精神分裂是否又能免除处罚？